Zusammenfassung

Im gesellschaftlichen Leben Ungarns zählte das Erscheinen der beiden Bolyai nicht gerade zu den alltäglichen Ereignissen. Wir müssen uns aufrichtig eingestehen, dass es im Land bis zur Zeit der Bolyai nicht allzu viele herausragende und weltberühmte Gelehrte gab. Die allgemeine Einstellung in Ungarn, die eher die Literatur und die Dichtkunst begünstigte, schenkte den Wissenschaftlern kaum Beachtung.

We establish a “preparatory Sard theorem” for smooth functions with a partially affine structure. By means of this result, we improve a previous result of Rifford [17, 19] concerning the generalized (Clarke) critical values of Lipschitz functions defined as minima of smooth functions. We also establish a nonsmooth Sard theorem for the class of Lipschitz functions from R^d to R^p that can be expressed as finite selections of C^k functions (more generally, continuous selections over a compact countable set). This recovers readily the classical Sard theorem and extends a previous result of Barbet–Daniilidis–Dambrine [1] to the case p > 1. Applications in semi-infinite and Pareto optimization are given.

Zusammenfassung

In diesem Kapitel konzentrieren wir uns auf das, was in der Schule oftmals etwas zu kurz kommt: Eine präzise Einführung des Begriffes der ″Ableitung einer Funktion″. Zusammen mit dem Integralbegriff ist dies wohl die bedeutsamste Anwendung des Grenzwert-Konzepts in der Mathematik schlechthin. Auf Dinge wie z.B. Berechnung von Extrem- und Wendepunkten gehen wir hier nicht näher ein – dies wird im Matheunterricht ja auch bis zum Umfallen eingeübt. Allerdings stellen wir ausführlich die Ableitungsregeln bereit, die wir in Kapitel 8 benötigen werden.

We prove that $$\displaystyle \max _{t \in [-\pi ,\pi ]}{|Q(t)|} \leq T_{2n}(\sec {}(s/4)) = \frac 12 ((\sec {}(s/4) + \tan {}(s/4))^{2n} + (\sec {}(s/4) - \tan {}(s/4))^{2n})$$ for every even trigonometric polynomial Q of degree at most n with complex coefficients satisfying $$\displaystyle m(\{t \in [-\pi ,\pi ]: |Q(t)| \leq 1\}) \geq 2\pi -s\,, \qquad s \in (0,2\pi )\,, $$ where m(A) denotes the Lebesgue measure of a measurable set $$A \subset {\mathbb {R}}$$ and T_2n is the Chebyshev polynomial of degree 2n on [−1, 1] defined by $$T_{2n}(\cos t) = \cos {}(2nt)$$ for $$t \in {\mathbb {R}}$$ . This inequality is sharp. We also prove that $$\displaystyle\max _{t \in [-\pi ,\pi ]}{|Q(t)|} \leq T_{2n}(\sec {}(s/2)) = \frac 12 ((\sec {}(s/2) + \tan {}(s/2))^{2n} + (\sec {}(s/2) - \tan {}(s/2))^{2n})$$ for every trigonometric polynomial Q of degree at most n with complex coefficients satisfying $$\displaystyle m(\{t \in [-\pi ,\pi ]: |Q(t)| \leq 1\}) \geq 2\pi -s\,, \qquad s \in (0,\pi )\,. $$

Zusammenfassung

Geometrische Denkweisen durchdringen die gesamte Mathematik, denn mathematisches Denken bedient sich oft geometrischer Stötzen. Immer, wenn es darum geht, visuell dargebotene Informationen aufzunehmen, zu analysieren, zu speichern und mit ihnen in der Vorstellung zu operieren, sind dabei geometrische Denkweisen von grundlegender Bedeutung.

Non-abelian simple totally irregular collineation groups containing an involutorial perspectivity have been classified by the authors in a recent paper. They are PSL(2,q), PSL(3,q), PSU(3,q), Sz(q), the alternating group on 7 letters, and the second Janko sporadic simple group. In this article, we study PSL(2,q),q congruent to 1 modulo 4, as a collineation group containing an involutory homology.